Fermi dà il suo contributo alla teoria
della relatività generale introducendo un particolare
sistema di coordinate che diverranno note nella letteratura
successiva come coordinate di Fermi.
Fisica
Prima di approfondire il significato fisico
delle coordinate di Fermi conviene premettere tre osservazioni.
Notiamo, anzitutto, il carattere puramente geometrico
della costruzione. Fin dall'inizio gli studiosi della
relatività avevano a disposizione due tecniche
diverse: il calcolo algebrico e differenziale basato su
specifiche coordinate e l'uso esplicito di componenti
vettoriali e tensoriali, spesso con complessi indici;
e il metodo geometrico, che usa solo i concetti di segmento,
angolo, volume, ecc. Non c'è dubbio che il secondo,
introdotto nel 1908 da H. Minkowski, è, se praticabile,
più semplice e più vicino alle modalità
di calcolo dei fisici, abituati all'uso di grandezze fisiche
misurate in concreti sistemi di riferimento. Questa duplicità
è tuttora presente e si deve riconoscere che il
primo metodo, in generale concettualmente più facile
e spesso l'unico disponibile, ha un seguito molto maggiore.
Ma esso ha dato luogo a numerosi errori e false strade;
l'esempio più clamoroso è quello del fisico
sovietico V.A. Fock che nel suo libro "The Theory
of Space, Time and Gravitation" (pubblicato in inglese
nel 1959) arrivò all'assurdo di attribuire significato
fisico a particolari coordinate matematicamente definite.
è quindi assai interessante notare che Fermi, la
cui formazione scientifica era essenzialmente fisica,
usò subito e senza incertezze la strada geometrica.
In secondo luogo, la trattazione di Fermi vale per arbitrari
valori delle velocità, anche vicine a quella della
luce, e contiene implicitamente gli effetti relativistici
della dilatazione dei tempi e della contrazione delle
lunghezze. Essa, in sostanza, definisce per ogni evento
di L0 una trasformazione di Lorentz "locale"
che varia da istante a istante; e ciò in maniera
geometrica, senza usare farraginose matrici.
Da ultimo, forse i lettori più attenti potranno
chiedersi, che ruolo ha in questa costruzione l'orientazione
del laboratorio attorno al suo centro di massa? Il trasporto
parallelo, infatti è definito in maniera puramente
geometrica e non ammette arbitrarietà alcuna; ma
come si ottengono operativamente le coordinate solidali
con un laboratorio posto sulla superficie della terra
(ruotante) non sono certo appropriate. Fermi non accenna
a questo problema e prende per scontato che la geometria
stessa, attraverso il parallelismo nello spaziotempo,
definisca l'assenza di rotazione. Viene così introdotto
surrettiziamente un elemento assoluto e a priori indipendente
dalle misure e dagli oggetti materiali che necessariamente
occorre usare per verificarne la sua realizzazione; un
procedimento contrario ai principi epistemologici di E.
Mach, per esempio. Possiamo qui dire, per brevità,
che in pratica la rotazione assoluta viene fatta rispetto
alla materia lontana, in particolare le radiogalassie.
Tale definizione corrisponde, nei limiti della presente
(ed assai elevata) accuratezza, con la definizione locale
del parallelismo geometrico.
Una volta costruite esplicitamente le coordinate locali
(t, x, y, z) non è stato difficile a Fermi ottenere
l'espressione della generalizzazione del "Teorema
di Pitagora" nello spaziotempo: .
Qui a è l'accelerazione vettoriale di L0 e r il
vettore (x, y, z). Si noti che per accelerazione si intende
una precisa grandezza geometrica che misura la deviazione
della linea di mondo da una geodetica. In questa formula
è contenuta la dinamica in un sistema di riferimento
non inerziale (sulla superficie terrestre o in un razzo
accelerato): un corpo libero, che si muove lungo una geodetica
di tale metrica, possiede l'accelerazione -a.
Occorre infine precisare l'errore commesso prendendo la
metrica nella forma precedente, in cui l'influenza della
curvatura dello spazio sulla metrica è trascurata.
La distanza ds è data ancora da una forma quadratica
nei differenziali delle coordinate dt, dx, dy, dz in cui
i coefficienti differiscono da quelli dell'equazione sopra
per termini che sono funzioni del tempo e di ordine Kr2;
però qui r è la distanza dalla geodetica
nello spazio ortogonale. Ad esempio, con una sola dimensione
spaziale x abbiamo tre correzioni: .
Le funzioni K(t) hanno dimensione L-2 e sono determinate
dalla curvatura dello spaziotempo. L'errore commesso nel
trascurare la curvatura in un laboratorio sulla terra
è assai piccolo. La curvatura dello spaziotempo
nel sistema solare è determinata essenzialmente
dal sole ed è, ad una distanza D da esso, di ordine ,
ove l'Unità Astronomica (UA) è la distanza
terra-sole, 150 milioni di km. Per un laboratorio terrestre
di dimensioni r l'errore Kr2 è di ordine ;
se r è il raggio della terra esso è !
E' interessante notare che l'importante problema dell'errore
che si commette adottando la metrica di Fermi è
stato trascurato sino agli anni '70. La costruzione delle
coordinate di Fermi in uno spazio curvo, quando la linea
centrale L0 non è geodetica, è merito di
Walker. Nell'equazione ,
le coordinate geodetiche sono state estese al caso in
cui, oltre alla curvatura prodotta da corpi lontani, vi
è anche un contributo da corpi gravitanti vicini,
come la terra.
.
.
,
;
se r è il raggio della terra esso è 
!
,
le coordinate geodetiche sono state estese al caso in
cui, oltre alla curvatura prodotta da corpi lontani, vi
è anche un contributo da corpi gravitanti vicini,
come la terra.